imagesdekartovy-koordinaty-na-ploskosti-i-v-prostranstve-thumb.jpg

Декартовы координаты вектора в пространстве

Прямоугольная система координат — прямолинейнаясистема координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Пример 3. В декартовой системе координат поверхность задана уравнением . Перепишем это уравнение в цилиндрической системе координат. Абсцисса и ордината точки, расстояние между точками и координата середины отрезка.

Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами и . Координата равна длине отрезка , координата — длине отрезка в выбранных единицах измерения. При этом координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче (а не на луче , как на рисунке).

Отрезки , и определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям , и соответственно. На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства.

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Таким образом, например, координаты (x,y) на рис.1 являются координатами вектора. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала. Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат.

Могут также применяться обозначения со стрелками (, и или , и ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе. Так как Декарт публиковал свои работы под псевдонимом Картезий (Cartesius), то в западной научной литературе её называют Картезианова система координат.

Декартовы координаты вектора в пространстве

Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.

Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию). Декартова система координат хорошо известна.

Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками. Стандартным образом декартова система координат обозначается Oxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат.

Пример 2.Найти декартовы координаты точки с заданными полярными координатами. Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между цилиндрической и декартовой системами координат.

§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Точка Oразбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями. Очевидно, каждой точке М на координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел прямоугольные координаты. Общее начало осей абсцисс и ординат называется началом координат.

Способ определения положения точек с помощью чисел называется методом координат. Основные разделы аналитической геометрий изложены в гл. II и IV. В дальнейшем метод координат получил широкое развитие и нашел применение во многих областях математики и механики.

Прямоугольная система координат

Этой точкой каждая из осей разбивается на две полуоси. Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу и ординату по такому правилу. Ордината точки А определяется аналогично. Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например (на первом месте абсцисса, на втором — ордината). Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти I, II, III, IV (рис. 188, в). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются.

О (рис. 189, о). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые. Одна из них называется положительной, а другая — отрицательной. Можно по трем числам найти положение точки в пространстве.

Точка пересечения этих осей О называется началом координат. Как было показано, положение точки на прямой определяется одним числом — координатой этой точки. Положение точки на плоскости определяется уже двумя числами.

Читайте также:

Похожее