Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Развивающая логика в 5 7 классах» «Задачи на разрезание». В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются. Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим. Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток.

Ромботришестиугольный паркет состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке. Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов. Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки.

Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Первый пример апериодического множества плиток был найден Робертом Берджером в 1966 году и включал в себя 20 426плиток Вана. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток. На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Математические головоломки и развлечения (fb2)

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов.

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). Еще одна интересная задача о пентамино — задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном.

В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино. Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка.

Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости. Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки.

Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток. В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».

Читайте также: