Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом. Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. В предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности. Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства). Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфово пространства не может быть двух различных пределов.

Смотреть что такое «Частичный предел последовательности» в других словарях:

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.

Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению.

Строгое определение предела функции

Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности. Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности. Можно дать альтернативные определения предела последовательности.

Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств. Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций.

Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение. Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность?

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению.

У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Читайте также: