Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. Найдем ранг основной матрицы системы методом окаймляющих миноров. Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной. Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества.

И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно. Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы.

Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне. Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных. Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»). Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему– только справа одни нули (то бишь, однородную систему).

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, , то получится вектор частного решения однородной системы:, то есть набор удовлетворяет каждому уравнению однородной системы.

В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Гаусса-Жордана. Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. По существу, мы применили метод Гаусса-Жордана, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4. – базисные переменные; – свободная переменная.Выразим базисные переменные через свободную переменную. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной : Ответ: общее решение однородной системы уравнений:, где (любое действительное число).

Теорема Кронекера – Капелли.

Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения). ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными. Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы. Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую и вторую строку переписываем без изменений.

Ответ. Система имеет только нулевое решение

По этой матрице записываем новую систему уравнений. Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов.

Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Уравнения обратились в тождества. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Сформулируем теорему Кронекера — Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где — основная матрица системы, — матрица-столбец неизвестных переменных, — матрица-столбец свободных членов. Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными.

Для того чтобы система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных. Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение.

Читайте также: